ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC проведено бісектриси AD і CE. Доведіть, що AE = ED.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AC — основа, AD — бісектриса ∠BAC, CE — бісектриса ∠ACB. Довести: AE = ED. Доведення: Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCА. За умовою AD — бісектриса ∠BAC, тоді ∠BAD = ∠DAC = 1/2 ∠BAC. Аналогічно CE — бісектриса ∠BCA, тоді ∠BCE = ∠ECA = 1/2 ∠BCA. Нехай ∠ECA = ∠CAD = ∠DAE = x, тоді ∠CAE = 2х. Розглянемо ∆CAE. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠CEA = 180° – (х + 2х) = 180° – ∠x. Розглянемо ∆AOE. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠EOA = 180° – (180° – 3x + х) = 180° – 180° + 3x – х = 2х. ∠AOE і ∠EOD — суміжні. За теоремою про суміжні кути маємо: ∠EOA = 180° – 2х. ∆EOD — рівнобедрений. Тому ∠OED = ∠ODE = (180° – (180° – 2х)) : : 2 = (180° – 180° + 2х) : 2 = (2х) : 2 = х. Отже, ∠EAO = ∠ODE. Тому ∆AED — рівнобедрений. Отже, АЕ = ED. Доведено.