ГДЗ Геометрія 8 клас Істер (2025)

(Задача Архімеда.) Якщо в колі хорди AB і CD перетинаються в точці E під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AE, BE, CE і DE дорівнює квадрату діаметра. Доведіть це.

1) Позначимо AE = a; EB = b; CE = с; ED = d. Необхідно довести, що а2 + b2 + с2 + d2 = (2R)2 = 4R2, де R — радіус кола.
2) Позначимо AD = x; BC = у. Тоді у ∆AED: а2 + d2 = х2, а у ∆CEB: b2 + с2 = у2. Отже, а2 + b2 + c2 + d2 = x2 + у2. (1)
3) Проведемо AK ∥ CD. Тоді ADCK — трапеція. Оскільки ця трапеція вписана у коло, то вона є рівнобічною і CK = AD = х.
4) Оскільки ∠KAB = 90°, то KB — діаметр кола.
5) Тому ∠KCB = 90°, у ∆СКВ: х2 + у2 = KB2 = (2R)2 = 4R2.
6) Враховуючи рівність (1), маємо а2 + b2 + c2 + d2 = 4R2, що й треба було довести.