ГДЗ Геометрія 8 клас Бурда (2025)

556. Із точки Р перетину взаємно перпендикулярних діагоналей чотирикутника ABCD провели перпендикуляри PK, PL, PM і PN до сторін, причому точки K, L, M і N лежать на сторонах AB, BC, CD, DA відповідно. Доведіть, що чотирикутник KLMN – вписаний у коло.

Чотирикутник KBLP — вписаний у коло (бо ∠K + ∠L = ∠B + ∠P = 180°), тоді ∠KBP = ∠KLP (як вписані кути, що спираються на одну дугу).
Аналогічно чотирикутник PLCM — вписаний у коло і ∠PLC = ∠PCM;
чотирикутник PMDN — вписаний у коло і ∠PDM = ∠PNM;
чотирикутник АKPN — вписаний у коло і ∠KAP = ∠KNP.
Розглянемо чотирикутник KLMN. ∠KLM + ∠KNM = ∠KLP + ∠PDC = (∠ABP + ∠PAB) + (∠PCD + ∠PDC) = 90° + 90° = 180°.
Оскільки ∠KLM + ∠KNM = 180°, тоді ∠NKL + ∠NML = 180°.
Отже, чотирикутник KLMN — вписаний в коло.