ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Кожний із кутів ВАС і ACB трикутника ABC поділено на три рівні частини (рис. 345). Доведіть, що ∠AMN = ∠CMN.

Дано: ∆АВС. ∠BAC поділено на три рівні кути, ∠BCA поділено на три рівні кути. Довести: ∠AMN = ∠CMN.
Доведення: Розглянемо ∆AMC. AN — бісектриса ∠MAC, CN — бісектриса ∠MCA. Отже, N — центр кола, вписаного у ∆АМС. E, F — точки дотику вписаного кола зі сторонами AM і MC.
За властивістю дотичних, проведених до кола, маємо: NE ⊥ MC, NF ⊥ AM.
Розглянемо ∆MNE і ∆NFM — прямокутні. ∠NFM = ∠NEM = 90°, FN = EN — радіуси вписаного кола, MN — спільна сторона.
Отже, ∆NFM = ∆NEM (за ознакою рівності прямокутних трикутників).
Звідси маємо: ∠FMN = ∠EMN, тобто ∠AMN = ∠CMN. Доведено.