ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Коло, вписане в рівнобедрений трикутник ABC, дотикається до його бічних сторін AB і BC у точках M i N відповідно. Доведіть, що MN ∥ AC.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений, AB = BС. O — центр вписаного кола у ∆ABC. M, N — точки дотику. Довести: MN ∥ AC. Доведення: За умовою ∆ABC — рівнобедрений (АB = BС). За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠A = ∠C. Нехай ∠A = x, ∠C = х.
Зa теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ABC = 180° – 2х. O — центр вписаного кола, тоді BO — бісектриса ∠MBN, тоді ∠MBO = ∠OBN = ∠MBN : 2. ∠MBO = ∠NBO = (180° – 2x) : 2 = 90° – x. MO і NO — радіуси вписаного кола, тоді за властивістю дотичних до кола маємо: OM ⊥ AB, ON ⊥ BC.
Розглянемо ∆OBM і ∆ONB — прямокутні. ∠OMB = ∠ONB = 90°, OM = ON, OB — спільна сторона, тоді ∠MOE = ∠NOE.
Розглянемо ∆MOB — прямокутний (∠B = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠MOB = 90° – (90° – х) = 90° – 90° + х = x,
Отже, ∠MOE = ∠NOE = x; ∠MON = 2x. ∆MON — рівнобедрений (ОМ = ON).
За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠OMN = ∠ONM = (180° – 2x) : 2 = 90° – x.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠EMB = ∠OMB – ∠OME. ∠EMB = 90° – (90° – x) = 90° – 90° + x = x.
Отже, ∠A = ∠EMB = x (відповідні). За ознакою паралельності прямих маємо: AC ∥ MN i AB — січна. Доведено.