ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

До кола, вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною а, проведено дотичну, яка перетинає дві сторони трикутника. Знайдіть периметр трикутника, який ця дотична відтинає від даного.

Даної ∆АВС — рівносторонній, AB = а, O — центр вписаного кола. MN — дотична до кола. Знайти: Р∆NBM. Розв'язання: O — центр вписаного кола. За властивістю дотичних до кола маємо: OE ⊥ NM, OP ⊥ AB. O — центр вписаного кола, CP — бісектриса, медіана.
Отже, AP = PB = 1/2 AB; AP = PB = a/2. NO — бісектриса ∠POE; ∠PON = ∠NOE = ∠POE : 2. AO — бісектриса. ∠PAO = ∠FAO = 60° : 2 = 30°. ∠APO = 90° – 30° = 60°; ∠AOF = 60°; ∠POF = 60° + 60° = 120°; ∠POE = 180° – 120° = 60° (∠FOP і ∠POE — суміжні). ∠PON = ∠NOE = 60° : 2 = 30°. ∆NEO — прямокутний (∠E = 90°), ∠NOE = 90°.
За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30° маємо: NE = 1/2 NO).
За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: PN = NE = 1/2NO.
Розглянемо ∆ONB — рівнобедрений (ON = NB). ∠EON = ∠NBE = 30°; NO = NB.
Нехай NE = NP = x, тоді NB = 2x; PB = PN + NB; PB = х + 2х = Зх. PB = a/2; 3x = a/2; x = a/6; 2x = a/3. ∆NBM — рівносторонній.
P∆NBM = 3 ∙ NB = 3 ∙ 2x = 3 ∙ a/3 = a.
Відповідь: а.