ГДЗ Геометрія 7 клас Істер (2024)

Доведіть, що в нерівнобедреному прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між висотою і медіаною, проведеними з тієї самої вершини, навпіл.

1) Нехай у трикутнику ABC: ∠C = 90°; ∠A = α; ∠B < ∠A. Тому α > 45°.
2) CM — медіана ∆ABC; CL — бісектриса ∆ABC; CK — висота ∆ABC.
3) У ∆CKA: ∠KCA = 90° – α.
4) ∠LCA = (90°)/2 = 45°.
5) ∆CМA — рівнобедрений, оскільки CM = АВ/2 і AM = АВ/2. Тому ∠МCA= α.
6) ∠MCL = ∠MCA – ∠LCA = α – 45°.
7) ∠LCK = ∠LCA – ∠KCA = 45° – (90° – α) = α – 45°.
8) Отже, ∠MCL = ∠LCK, а тому бісектриса CL ділить кут між висотою CK і медіаною CМ навпіл, що й треба було довести.