ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠B = 30°. Серединний перпендикуляр відрізка AB перетинає його в точці М, а відрізок BC — у точці К. Доведіть, що MK = 1/3 BC.

Нехай ∆ABC — прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 30°, MK — серединний перпендикуляр до сторони AB. Доведемо, що MK = 1/3BC . Розглянемо ∆ABC (∠C = 90°). Оскільки ∠B = 30°, то AC = 1/2AB. MK — серединний перпендикуляр до AB, тобто BM = MA = 1/2AB і MK ⊥ AB. Так як AC = 1/2AB і BM = 1/2AB, то AC = BM = MA. Проведемо AK і розглянемо ∆AMK і ∆АСK: 1) ∠AMK = ∠ACK = 90° (за умовою); 2) AK — спільна; 3) AM = AC (із попереднього). Отже, ∆AMK = ∆ACK за катетом і гіпотенузою, тоді MK = KС. Нехай MK = KС = х. Розглянемо ∆BMK (∠M = 90°): ∠B = 30°, тоді MK = 1/2ВК; ВK = 2 ∙ МK = 2х. Так як т. K належить відрізку BC, то BC = BK + KC; BC = 2х + х = Зх; MK = х. Отже, МK = 1/3BC.