ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Бісектриси AM і BK рівностороннього трикутника ABC перетинаються в точці О. Доведіть, що AO : OM = 2 : 1.

Доведення: Нехай ∆ABC — рівносторонній, AM і BK — бісектриси, перетинаються в т. О. Доведемо, що AO : OM = 2 : 1. В ∆ABC ∠A = ∠B = ∠C = 60°. ∠ABK = ∠KBC = 1/2∠B = 60°: 2 = 30° (BK – бісектриса ∠B). ∠BAM = ∠MAC = 1/2 ∠A = 60°: 2 = 30° (AM — бісектриса ∠A). В ∆ABC рівносторонньому бісектриса є висотою. AM ⊥ BC, BK ⊥ AC. Розглянемо ∆BOM (∠M = 90°, AM ⊥ BC). Нехай OM = x, тоді OB = 2 ∙ OM = 2х (оскільки ∠OBM = 30°). Розглянемо ∆АОВ: ∠BAO = ∠ABO = 30°, тоді ∆AOB — рівнобедрений з основою AB. Отже, AO = BO = 2х. AO : OM = 2x : x = 2 : 1.