ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорівнює 180°. Чи є правильним обернене твердження: якщо сумa протилежних кутів трапеції дорівнює 180°, то дана трапеція є рівнобічною?

Нехай АВСD — трапеція. ВС ∥ AD, АВ ∦ СD, АВ = СD. Доведемо, що ∠А + ∠С = ∠D + ∠В = 180°. ∠А = ∠D ∠B = ∠C як кути, прилеглі до основ в рівнобічній трапеції. ∠А + ∠В = 180° ∠С + ∠D = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції. Тоді ∠А + ∠С = 180°, ∠В + ∠В = 180°. Перевіримо обернене твердження: Нехай ∠А + ∠С = ∠В + ∠В = 180°, то трапеція рівнобока. Оскільки ∠А + ∠В = ∠С + ∠В = 180° (як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції), то ∠В = ∠С, ∠А = ∠В. Проведемо висоти ВМ і СК і розглянемо ∆АВМ і ∆ВСК. 1) ∠ВМА = ∠СКВ = 90°. 2) ВМ = СК (як висоти). 3) ∠А = ∠В. Отже. ∆АВМ = ∆ВСК (за катетом і гострим кутом). З цього випливає, шо АВ = СВ, тоді трапеції АВСВ — рівнобока.