ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см, AM — бісектриса. Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кутів ВАС і AMC.

Розглянемо ∆АСВ — прямокутний (∠С = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АС2 + СВ2, АВ2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625, АВ = 25 см.
За умовою АМ — бісектриса. За властивістю бісектриси кута маємо: AC/AB = CM/MB.
Нехай СМ = х см, тоді за аксіомою вимірювання відрізків маємо: МВ = СВ – СМ, МВ = 24 – x (см).
Складемо і розв’яжемо рівняння: 7/25 = x/(24- x); 7(24 – х) = 25х; 7 • 24 – 7х = 25х; 7 • 24 = 7х + 25х; 32х = 7 • 24; х = (7•24)/32 = 21/4. Отже, СМ = 21/4 (см).
Розглянемо ∆ACM прямокутний (∠С = 90°). За означенням тригонометричних функцій гострого кута маємо: Аналогічно з прямокутного трикутника ABC маємо: sin∠BAC = CB/AB; sin∠AMC = AC/AM; cos∠BAC = AC/AB; cos∠AMC = CM/AM; tg∠BAC = CB/AB; tg∠AMC = AC/CM; ctg∠BAC = AC/CB; ctg∠AMC = CM/AC; sin∠BAC = 24/25; sin∠AMC = 7/1 : 35/4; cos∠BAC = 7/25; cos∠AMC = 21/4 : 35/4; tg∠BAC = 24/7 = 33/7; tg∠AMC = 7/4 : 21/4 = (7•4)/21 = 4/3 = 11/3; ctg∠BAC = 7/24; ctg∠AMC = 21/4 : 7 = 21/(4•7) = 3/4. Розглянемо ∆ACM — прямокутний (∠C = 90°). За теоремою Піфагора маємо: AM2 = АС2 + СМ2; АМ2 = 72 + (21/4)2 = 49\16 + 441/16 = (784+441)/16 = 1225/16; AM = 35/4 (см). sin∠BAC = 24/25; sin∠AMC = 7/1 : 35/4 = (7•4)/(1•35) = 4/5; cos∠BAC = 7/25; cos∠AMC = (21•4)/(4•35) = 3/5; tg∠BAC = 24/7 = 33/7; tg∠AMC = 4/3 = 11/3; ctg∠BAC = 7/24; ctg∠AMC = 3/4. Відповідь: sin∠BAC = 24/25; cos∠BAC = 7/25; tg∠BAC = 33/7; ctg∠BAC = 7/24; sin∠AMC = 4/5; cos∠AMC = 3/5; tg∠AMC = 11/3; ctg∠AMC = 3/4.