ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 60°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 8 см і 12 см.

Розглянемо чотирикутник NВКD, ∠N = ∠К = 90°, ∠В = 60°.
За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠N + ∠В + ∠К + ∠D = 360°, ∠D = 360° – (90° + 90° + 60°) = 360° – 240° = 120°.
За властивістю кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, маємо: ∠А + ∠D = 180°, ∠А = 180° – 120° = 60°.
За властивістю протилежних кутів паралелограма маємо: ∠А = ∠С = 60°.
Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠А + ∠В = 90°, ∠В = 90° – 60° = 30°.
За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: АN = 2АN.
Нехай АN = х см, тоді АВ = 2х (см). За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АN2 + NВ2.
Складемо і розв’яжемо рівняння: (2х)2 = х2 + 82; 4х2 – х2 = 64; Зх2 = 64; x2 = 64/3; x = √(64/3) = 8/√3 = (8√3)/3.
Отже, AB = (2•8√3)/3 = (16√3)/3 (см). S = a • ha; a = CD = (16√3)/3 см; ha = BK = 12 см; SABCD = (16√3•12)/3 = 64√3 (см2).
Відповідь: SABCD = 64√3 см2.