ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Сторони паралелограма дорівнюють 14 см і 20 см, а кут між його висотами, проведеними з вершини тупого кута, — 45°. Знайдіть площу паралелограма.

Розглянемо чотирикутник NВKD. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠N + ∠В + ∠К + ∠D – 360°, ∠D = 360° – (90° + 90° + 45°) = 360° – 225° = 135°.
За властивістю кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, маємо: ∠А + ∠D = 180°, ∠А = 180° – 135° = 45°.
Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (N = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутник маємо: ∠А + ∠В = 90°, ∠В = 90° – 45° = 45°.
Отже, ∆АNВ — прямокутний, рівнобедрений, ∠N = 90°, АN = NВ.
Нехай АN = NВ = х см. За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АN2 + NВ; х2 + х2 = 142; 2х2 = 196; х2 = 196 : 2 = 98; х = √98 = √(49•2) = 7√2.
Отже, АN = NВ = 7√2 см. SABCD = ВN • АD; NВ = 7√2 см; АD = ВС = 20 см; SABCD =7√2 • 20 = 140√2 (см2).
Відповідь: SABCD = 140√2 см2.