ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Бісектриса кута А трикутника ABC (∠C = 90°) ділить катет BC на відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть радіус кола, яке проходить через точку А, точку C і точку перетину даної бісектриси з катетом BC.

За умовою АР — бісектриса ∆АВС. За властивістю бісектриси кута маємо: AC/AB = CP/PB; AC/AB = 6/10; AC/AB = 3/5.
Нехай АС = Зx (см), АВ = 5x (см). За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = АС2 + СВ2; (5x)2 = (Зx)2 + 162; 25x2 = 9x2 + 256; 25х2 – 9х2 = 256; 16x2 = 256; x2 = 256 : 16.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СВ = СР + РВ, СВ = 6 + 10 = 16 (см).) x2 = 16; x = 4.
Отже, АС = 4 • 3 = 12 (см), СВ = 5 • 4 = 20 (см). Розглянемо ∆АСР — прямокутний (∠С = 90°).
За теоремою Піфагора маємо: АР2 = АС2 + СР2; АР2 = 122 + 62 = 144 + 36 = 180; АР = √180 = √(9•20) = √(9•4•5) = 3 • 2√5 = 6√5 (см).
Центом кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи.
Отже, R = 1/2АР = (6√5)/2 = 3√5 (см).
Відповідь: R = З√5 см.