ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Доведіть, що коли кути опуклого шестикутника рівні, то його сторони утворюють три пари паралельних сторін.

За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо: 180° • (n – 2) : n = 6.
Отже, 180° • (6 – 2) = 180° • 4 = 720°. Якщо кути шестикутника рівні, тоді ∠А = ∠В = ∠С = ∠D = ∠Е = ∠F = 720° : 6 = 120°.
Виконаємо додаткову побудову: діагоналі АD, ВF і СЕ.
Маємо ВСЕF — прямокутник. ∠FВС = ∠ВСЕ = ∠СЕF = ∠ЕFВ = 90°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠DСЕ = ∠DСВ – ∠ЕСВ, ∠DСЕ = 120° – 90° = 30°.
Аналогічно ∠DЕС = ∠DЕF – ∠FЕС, ∠DЕС = 120° – 90° = 30°.
Отже, ∆DСЕ — рівнобедрений (за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника). DК — висота, медіана, бісектриса.
∠ЕDК = ∠СDК = 120° : 2 = 60°. ∠ЕDК + ∠DЕF = 60° + 120° = 180° (∠ЕDК і ∠DЕF — внутрішні односторонні).
За ознакою паралельності прямих маємо: АD ∥ FЕ, аналогічно АD ∥ ВС. Тому FE ∥ ВС.
Аналогічно АВ ∥ DЕ, СD ∥ АF. Доведено.