ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

Перпендикуляр, опущений із точки перетину діагоналей ромба на його сторону, дорівнює 2 см і ділить цю сторону на відрізки, які відносяться як 1 : 4. Знайдіть діагоналі ромба.

Розглянемо ∆АОD. За властивістю діагоналей ромба маємо АС ⊥ ВD, ∠АОD = 90°.
Отже, ∆АОD — прямокутний. За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: ON2 = АN • ND.
За умовою АN : ND = 1 : 4. Нехай АN = х см, ND = 4х (см). х • 4х = 22; 4x2 = 4; x2 = 4 : 4; х2 = 1; х = 1. АN = 1 см, ND = 4 • 1 = 4 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АN + ND, АD = 1 + 4 = 5 (см).
За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: АО2 = АN • АD; АО = √(AN •AD); AO = √(1 •5) = √5 (см).
ОD2 = ND • АD; ОD = √(ND •AD); ОD = √(4 •5) = 2√5 (см).
За властивістю діагоналей ромба маємо: АС = 2АО = 2√5 (см), ВD = 2ВО = 4√5 (см).
Відповідь: 2√5 см, 4√5 см.