ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк (2025)

У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику ділить більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 50 см. Знайдіть периметр трапеції.

За умовою О — центр кола, вписаного у трапецію. Отже, О – точка перетину бісектрис кутів трапеції.
За умовою АВСD — прямокутна трапеція. Отже, ∠ВСD + ∠СDА = 180°.
Отже, ОС — бісектриса ∠ВСD, ОD — бісектриса ∠СDА.
За означенням бісектрис кута маємо: ∠BCO = ∠OCD = 1/2∠BCD i ∠CDO = ∠ODA = 1/2∠CDA.
Отже, маємо: ∠ОСD + ∠ОDС = 180° : 2 = 90°, звідси маємо ∆ОСD — прямокутний. ОN — висота, ОN — радіус, ОN ⊥ СD.
За метричними співвідношеннями у прямокутному трикутнику маємо: ОN2 = СN • ND; ON2 = 8 • 50; ON2 = 400; ОN = 20 (см).
АВ — дорівнює діаметру вписаного у трапецію кола, тому АВ = 2ОN = 40 (см).
За аксіомою вимірювання відрізків маємо: СD = СN + ND; СD = 8 + 50 = 58 (см).
За властивістю кола, вписаного у чотирикутник, маємо: АD + ВС = АВ + СD = 59 + 40 = 98 (см).
РАВСD = 98 • 2 = 196 (см).
Відповідь: 196 см.