ГДЗ Геометрія 8 клас Бевз (2025)

9. На діагоналі BD квадрата ABCD взято точки M і N такі, що BM = DN. Доведи, що AMCN — ромб. Знайди його периметр, якщо MN = 4 см і ∠BAM = 15°.

ABCD — квадрат; BM = ND. Потрібно побудувати ромб AMCN. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони квадрата, дорівнює 180°, тобто ∠A + ∠B = 180°. Кожна з діагоналей квадрата ділить його кути навпіл, тобто ∠BAM + ∠ABM = 1/2∠A + 1/2∠B = 1/2(∠A + ∠B) = 1/2 • 180° = 90°, тобто всі чотири трикутники — прямокутні. Далі, ∆AMB = ∆BMC за гіпотенузами AB і BC (як сторони квадрата) і спільним катетом BM. Так само ∆AND = ∆CND, тобто AM = MC = AN = ND. Це означає, що AMCN це ромб. Якщо MN = 4 см, то P = 4AM. Однозначно визначити довжину катета за відомим гострим кутом можна лише за допомогою тригонометричних функцій. Але задачі такого виду ми розглянемо дещо пізніше. Тепер же довжину сторони ромба знаходимо приблизно за допомогою циркуля та мірної лінійки. Тому довжину периметра ромба знаходимо приблизно.