ГДЗ Геометрія 7 клас Мерзляк (2024)

Відрізки AM і CK — медіани трикутника ABC. На продовженні відрізка AM за точку M відкладено відрізок MF, а на продовженні відрізка CK за точку K — відрізок KD так, що MF = AM, KD = CK. Доведіть, що точки В, D і F лежать на одній прямій.

Доведення: Нехай дано ∆ABC, AM — медіана, CK — медіана, AM = MF, CK = KD за побудовою. Розглянемо ∆AMC і ∆FMB. 1) AM = MF (за побудовою); 2) BM = MC (AM — медіана); 3) ∠AMC = ∠FMB (як вертикальні). Отже, ∆AMC = ∆FMB за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠MAC = ∠MFB. ∠MAC і ∠MFB — різносторонні при прямих AC і BF та січній AF. Тоді за ознакою паралельності прямих AC ∥ BF. Розглянемо ∆AKC і ∆BKD. 1) AK = BK (CK — медіана); 2) CK = KD (за побудовою); 3) ∠AKC = ∠BKD (як вертикальні). Отже, ∆AKC = ∆BKD за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠BDK = ∠ACD. ∠BDK і ∠ACX — різносторонні при прямих AC і BD та січній DC. Тоді за ознакою паралельності прямих AC ∥ BD. Оскільки BF ∥ AC і BD ∥ AC, то точки В, F, D лежать на одній прямій.