ГДЗ Алгебра 7 клас Тарасенкова (2024)

Доведіть, що вираз (х2 – ху + у2)3 + (х2 + ху + у2)3 набуває невід’ємних значень за будь–яких числових значеннях змінних х і у.

(х2 – xy + у2)3 + (x2 + ху + у2)3 = (х2 – xy + у2 + x2 + xy + у2) • ((x2 – ху + у2)2 – (x2 – xy + у2)(х2 + ху + у2) + (x2 + ху + у2)2 = (2x2 + 2у2)(х4 + x2y2 + y4 – 2x3y – 2xy3 + 2x2y2 – (x4 + x3y + x2y2 – x3y – x2y2 – xy3 + x2y2 + xy3 + y4) + x4 + x2y2 + y4 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2 = (2x2 + 2y2)(2х4 + 6x2y2 + 2у4 – х4 – х2у2 – у4) = (2x2 + 2у2)(х4 + 5х2у2 + у4).
Значення виразу є невід’ємним числом, як добуток двох невід’ємних чисел: 2x2 ≥ 0, 2у2 ≥ 0, тому 2x2 + 2у2 ≥ 0; x4 ≥ 0,5х2у2 ≥ 0, у4 ≥ 0, тому x4 + 5x2y2 + у4 ≥ 0.