ГДЗ Алгебра 9 клас Істер НУШ

3.39. (Українська математична олімпіада, 1962 р.). Знайдіть значення виразу a3 + b3 + 3(a3b + ab3) + 6(a3b2 + a2b3), де a і b – корені рівняння x2 – x + q = 0.

За теоремою Вієта маємо: а + b = 1, аb = q.
Спростимо вираз: а3 + b3 + 3(а3b + аb3) + 6(a3b3 + а2bЗ) = (а + b) • (а2 – аb + b2) + 3аb(а2 + b2) + 6а2b2(а + b) = (а + b)((а + b)2 – 3аb) + 3((а + b)2 – 2аb) + 6а2b2(а + b) = 1 • (1 – Зq) + 3q(1 – 2q) + 6q2 = 1 – 3q + Зq – 6q2 + 6q2 = 1.