ГДЗ Алгебра 9 клас Істер НУШ

3.27. Доведіть нерівність.

1) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:
((mn+1)/2) • ((m+ n)/2) ≥ √mn • √mn;
((mn+1)/2) • ((m+ n)/2) ≥ √(m^2 n^2 );
(mn + 1)(m + n) ≥ √(m^2 n^2 );
(mn + 1)(m + n) ≥ 4mn, що й треба було довести.
2) Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність Коши:
(a+2c)/2 ≥ √2ac; (b+2a)/2 ≥ √2ab;
(c+2b)/2 ≥ √2bc; a + 2c ≥ 2√2ac;
b + 2a ≥ 2√2ab; c + 2b ≥ 2√2bc.
Перемножимо ці нерівності почленно:
× a + 2c ≥ 2√2ac;
b + 2a ≥ 2√2ab;
c + 2b ≥ 2√2bc;
(a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) ≥ 8√2ac • √2ab • 2√cb, отже, (a + 2c)(b + 2a)(c + 2b) ≥ 16√2abc, що й треба було довести.