ГДЗ Геометрія 8 клас Істер (2025)

На сторонах квадрата зовні побудовано рівносторонні трикутники. Доведіть, що вершини трикутників, які не є вершинами заданого квадрата, є вершинами іншого квадрата.

1) Нехай ABCD — заданий квадрат, а АВЕ, BCF, CDG і DAH — рівносторонні трикутники.
Треба довести, що EFGH — квадрат.
2) ∠ABE = ∠CBF = 60°; тоді ∠EBF = 180° – (90° + 2 • 60°) = 150°.
3) Оскільки AB = BC і BE = AB; BF = BC, то BE = BF.
Тому ∆EBF — рівнобедрений; ∠BEF = ∠BFE = (180°-150°)/2 = 15°.
4) Аналогічно ∠AEH = 15°. Тоді ∠HEF = 15° + 60° + 15° = 90°.
5) Аналогічно ∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°.
За задачею №3.10 маємо EFGH — прямокутник.
6) За аналогією з п. 2), отримаємо ∠GCF = 150°.
Тоді ∆EBF = ∆GCF (за першою ознакою), а тому EF = FG.
7) EFGH — прямокутник і EF = FG, тому EFGH — квадрат, що й треба було довести.