Назад
ГДЗ Геометрія 7 клас Бурда
Роздiл 4. Трикутники
У прямокутному трикутнику з катетами а і b проведено висоту до гіпотенузи с. Основа висоти ділить гіпотенузу на відрізки, що відносяться, як а2 : b2, починаючи від вершини В. З'ясуйте, на скільки сантиметрів периметр одного з утворених прямокутних трикутників більший за периметр другого, якщо: 1) a = 6 см, b = 8 см, с= 10 см; 2) а = 7 см, b= 24 см, с = 25 см; 3) а = 5 см, b = 12 см, с = 13 см.
За умовою, BD/DA = a^2/b^2 , звідки BD = a^2/b^2 • DA. Оскільки с = BD + DA = = a^2/b^2 • DA + DA = DA(a^2/b^2 + 1) = DA • (a^2+ b^2)/b^2 , то DA = 〖cb〗^2/〖a^2+b〗^2 . BD = a^2/b^2 • 〖cb〗^2/〖a^2+ b〗^2 = (a^2 c)/〖a^2+ b〗^2 , DA – BD = 〖cb〗^2/〖a^2+b〗^2 – (a^2 c)/(a^2+ b^2 ) = (c(b^2- a^2))/(a^2+ b^2 ). PCDB = a + BD + DC, PADC = b + DA + DC, звідки PADC – PCDB = b + DA + DC – a – BD – DC = b – a + DA – BD = b – a + (c(b^2- a^2))/(a^2+ b^2 ). Отже, PADC – PCDB = (b – a)(1 + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )).
1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, с = 10 см, то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )) = (8 – 6)(1 + (10(8+6))/(36+64)) = 2 • 2,4 = 4,8 (см);
2) якщо а = 7 см, b = 24 см, с = 25 см, то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )) = (24 – 7)(1 + (25(24+7))/(49+576)) = 17 • 2,24 = 38,08 (см);
3) якщо а = 5 см, b = 12 см, с = 13 см, то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )) = (12 – 5)(1 + (13(12+5))/(25+144)) = 7 • 30/13 = 210/13 = 162/13 (см).
За умовою, BD/DA = a^2/b^2 , звідки BD = a^2/b^2 • DA. Оскільки с = BD + DA = = a^2/b^2 • DA + DA = DA(a^2/b^2 + 1) = DA • (a^2+ b^2)/b^2 , то DA = 〖cb〗^2/〖a^2+b〗^2 . BD = a^2/b^2 • 〖cb〗^2/〖a^2+ b〗^2 = (a^2 c)/〖a^2+ b〗^2 , DA – BD = 〖cb〗^2/〖a^2+b〗^2 – (a^2 c)/(a^2+ b^2 ) = (c(b^2- a^2))/(a^2+ b^2 ). PCDB = a + BD + DC, PADC = b + DA + DC, звідки PADC – PCDB = b + DA + DC – a – BD – DC = b – a + DA – BD = b – a + (c(b^2- a^2))/(a^2+ b^2 ). Отже, PADC – PCDB = (b – a)(1 + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )).
1) Якщо а = 6 см, b = 8 см, с = 10 см, то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )) = (8 – 6)(1 + (10(8+6))/(36+64)) = 2 • 2,4 = 4,8 (см);
2) якщо а = 7 см, b = 24 см, с = 25 см, то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )) = (24 – 7)(1 + (25(24+7))/(49+576)) = 17 • 2,24 = 38,08 (см);
3) якщо а = 5 см, b = 12 см, с = 13 см, то: PADC – PCDB = (b – a)(1 + + (c(b+a))/(a^2+ b^2 )) = (12 – 5)(1 + (13(12+5))/(25+144)) = 7 • 30/13 = 210/13 = 162/13 (см).