ГДЗ Геометрія 8 клас Істер (2025)

(Всеукраїнська олімпіада з математики, 1964 р.) Знайдіть найбільше значення n, при якому n точок можна розмістити на площині так, щоб кожні три з них були вершинами прямокутного трикутника.

Нехай A i B — ті з даних точок, відстань між якими найбільша, a C — будь–яка з інших даних точок. У ∆ABC за умовою один з кутів прямий. Оскільки AB — найбільша сторона трикутника, то ∠ACB = 90°. Отже, усі дані точки лежать на колі, побудованому на відрізку AB як на діаметрі.
Припустимо, що серед даних точок, крім точки С, є ще й точка D. У ∆ADC — один з кутів прямий. Кут ADC не може бути прямим, бо тоді точка C збігалася б з точкою В (відрізок AC був би діаметром кола). Аналогічно кут ACD також не може бути прямим.
Тому ∠DAC = 90°, а отже, DC — діаметр кола. Довели, що будь–яка інша четверта точка D є кінцем діаметра кола, який проходить через точку С. Така точка єдина. Отже, n = 4.
Відповідь: n = 4.