ГДЗ Алгебра 8 клас Істер (2025)

(Національна олімпіада Великої Британії, 1968 р.) Нехай a1, a2, ... , a7 – цілі числа, а b1, b2, ..., b7 – ті самі числа, які взято в іншому порядку. Доведіть, що число (a1 – b1)(a2 – b2)...(а7 – b7) є парним.

1) Для того, щоб добуток (a1 – b1)(а2 – b2) ... (а7 – b7) був парним числом, достатньо, аби хоча б один із співмножників був парним числом.
2) Розглянемо суму (а1 – b2) + (а2 – b2) + (а3 – b3) + ... + (а7 – b7). Оскільки b1, b2, ..., b7 — де числа a1, а2, ..., а7, які узято в іншому порядку, то очевидно, що вказана сума дорівнює нулю.
3) Припустимо, що всі числа a1 – b1, а2 – b2, ..., а7 – b7 — непарні. Тоді й сума (a1 – b1) + (а2 – b2) + ... + (а7 – b7) є числом непарним, а не нулем.
Прийшли до протиріччя. Наше припущення неправильне.
4) Отже, серед чисел a1 – b1, a2 – b2, ..., a7 – b7 є хоча б одне парне, а тому й добуток (a1 – b1)(а2 – b2) ... (а7 – b7) є парним числом, що й треба було довести.