ГДЗ Геометрія 7 клас Бурда

На малюнку 511 побудовано бісектрису AO кута А іншим способом, ніж той, що розглядався в підручнику. Складіть план побудови та доведіть, що промінь AO — бісектриса кута А. 

Будую коло з центром у точки А, яке в перетині зі сторонами кута дасть точки B та C, потім будую коло іншого радіуса, одержують точки N та M. Cполучає відрізками точки B та N і C та M, у результаті їх перетину одержую точку О. Tоді AO – шукана бісектриса. Oскільки AB = AC як радіуси одного кола, AN = AM як радіуси іншого кола, ∠A – спільний кут трикутників ABN і ACM, то ∆ABN = ∆ACM за двома сторонами та кутом між ними. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠ANB = ∠AMC. Tак як ∠CON = ∠BOM як вертикальні, ∠ANB = ∠AMC, то ∠NCO = ∠MBO. Oскільки CN = BM як різниці рівних відрізків, ∠NCO = ∠MBO, ∠CNO = ∠BMO, то ∆CNO = ∆BMO за стороною і двома прилеглими до неї кутами. E рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому CO = BO. Oскільки CO = BO, AB = AC як радіуси одного кола, АО – спільна сторона трикутників ACO і ABO, то ∆ACO = ∆ABO за трьома сторонами. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠CАO = ∠ВАО, а це означає, що АО – бісектриса кута ВАС.