ГДЗ Алгебра 7 клас Мерзляк (2024)

Доведіть, що різниця квадратів двох довільних натуральних чисел, кожне з яких не ділиться націло на 3, є кратною 3.

Нехай обидва натуральні числа при діленні на 3 дають однакові остачі 1 або 2. Отримаємо:
а) (3n – 1)2 – (3m – 1)2 = (Зn – 1 – Зm + 1)(3n – 1 + 3m – 1) = (Зn – 3m)(3n + 3m – 2) = 3(n – m)(3n + Зm2) — кратне трьом;
б) (3n – 2)2 – (Зm – 2)2 = (Зn – 2 – Зm + 2)(3n – 2 + 3m – 2) = (Зn – 3m)(3n + 3m – 4) = 3(n – m)(3n + Зm – 4) — кратне трьом.
Якщо обидва натуральні числа при діленні на 3 дають різні остачі, то отримаємо: (Зn – 1)2 – (Зm – 2)2 = (Зn – 1 – 3m + 2)(3n – 1 + 3m – 2) = (3n – 3m + 1)(3n + 3m – 3) = 3(3n – Зm + 1)(n + m – 1) — кратне трьом.